W13. Квадрики, линейные преобразования, матричное представление

Автор

Salman Ahmadi-Asl

Дата публикации

24 ноября 2025 г.

1. Кратко

1.1 Поверхности второго порядка в 3D (quadrics / квадрики)

Квадрики (quadric surfaces) — трёхмерный аналог конических сечений (conic sections). Как окружность, эллипс, парабола и гипербола задаются многочленом второй степени на плоскости, так и квадрики задаются многочленом второй степени по переменным \(x\), \(y\) и \(z\).

1.1.1 От коник 2D к поверхностям 3D

Переход от кривых на плоскости к поверхностям в пространстве естественно делают так: кривую вращают (rotate) вокруг одной из осей симметрии.

Соответствие между кониками 2D и их 3D-расширениями:

  • Circle → Sphere (окружность → сфера): окружность, вращаемая вокруг любого диаметра, даёт сферу
  • Ellipse → Ellipsoid (эллипс → эллипсоид): эллипс, вращаемый вокруг одной из осей, даёт эллипсоид
  • Parabola → Paraboloid (парабола → параболоид): парабола, вращаемая вокруг своей оси симметрии, даёт параболоид
  • Hyperbola → Hyperboloid (гипербола → гиперболоид): гипербола, вращаемая вокруг своей оси, даёт гиперболоид
1.1.2 Типы квадрик

Сфера (sphere)

Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от фиксированной точки — центра (center).

  • Стандартное уравнение (standard equation): \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\) (центр в начале координат, радиус \(r\))
  • Общий вид с центром: \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\) (центр \((a, b, c)\))
  • Развёрнутая форма: \(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\)

Эллипсоид (ellipsoid)

Эллипсоид — «растянутая» сфера: масштабы по осям могут отличаться.

  • Стандартное уравнение: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)
  • Если \(a = b = c\), эллипсоид вырождается в сферу
  • Параметры \(a\), \(b\), \(c\) — полуоси (semi-axes) вдоль \(x\), \(y\) и \(z\)

Эллиптический параболоид (elliptic paraboloid)

Эллиптический параболоид — «чашеобразная» поверхность (тарелки спутниковых антенн, отражатели фар).

  • Стандартное уравнение: \(z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\)
  • Сечения плоскостями, параллельными \(xy\), — эллипсы
  • Сечения плоскостями, параллельными \(xz\) или \(yz\), — параболы
  • Вершина в начале координат; при отрицательном \(z\) «чаша» может быть направлена вниз

Гиперболический параболоид (hyperbolic paraboloid)

Гиперболический параболоид — седлообразная поверхность.

  • Стандартное уравнение: \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\)
  • Сечения, параллельные \(xy\), — гиперболы
  • Сечения, параллельные \(xz\), — параболы «вверх»
  • Сечения, параллельные \(yz\), — параболы «вниз»

Однополостный гиперболоид (hyperboloid of one sheet)

Однополостный гиперболоид напоминает песочные часы или градирню — одна связная поверхность.

  • Стандартное уравнение: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\)
  • Сечения, параллельные \(xy\), — эллипсы
  • Поверхность связна и уходит на бесконечность

Двуполостный гиперболоид (hyperboloid of two sheets)

Двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных «чаш», развернутых друг от друга.

  • Стандартное уравнение: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1\)
  • Эквивалентно: \(\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
  • Между листами есть «щель»

Конус (cone)

Конус — объединение прямых, проходящих через фиксированную вершину (vertex) и пересекающих кривую (директрису / directrix).

  • Круговой конус: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = \frac{z^2}{c^2}\)
  • Сечения, параллельные \(xy\), — окружности
  • Вершина в начале координат
  • Две полости (nappes): верхняя (\(z \geq 0\)) и нижняя (\(z \leq 0\))
1.1.3 Как распознать квадрику

Чтобы по общему уравнению понять тип поверхности:

  1. при необходимости выделите полные квадраты (complete the square) по каждой переменной;
  2. приведите уравнение к стандартному виду;
  3. сравните со стандартными шаблонами.

Полезные правила:

  • все квадратичные члены одного знака, справа константа — эллипсоид (или сфера при равных коэффициентах);
  • два «\(+\)», один «\(-\)», справа «\(+\)» — однополостный гиперболоид;
  • два «\(+\)», один «\(-\)», справа «\(-\)» — двуполостный гиперболоид;
  • два квадрата равны линейному члену — параболоид (эллиптический или гиперболический).
1.1.4 Где встречаются
  • Сфера: планеты, мячи, пузыри
  • Эллипсоид: форма Земли (геоид), часть спортивных мячей
  • Параболоид: спутниковые тарелки, фары, зеркала телескопов
  • Гиперболоид: градирни, архитектура, конструкции реакторных зданий
1.2 Линейные преобразования (linear transformations)
1.2.1 Определение

Линейное преобразование — отображение между векторными пространствами, которое сохраняет сложение векторов и умножение на скаляр.

Формально: \(T : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n\) — линейное преобразование, если для всех \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^m\) и \(c \in \mathbb{R}\):

  1. Аддитивность (additivity): \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\)
  2. Однородность (homogeneity): \(T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})\)

Эквивалентно: для всех \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\) и \(a, b \in \mathbb{R}\) \[T(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})\] то есть \(T\) сохраняет линейные комбинации.

1.2.2 Свойства

Если \(T : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n\) линейно, то:

  • \(T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\) — нуль всегда уходит в нуль
  • \(T(c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k) = c_1T(\mathbf{v}_1) + \cdots + c_kT(\mathbf{v}_k)\)

Важно: если \(T(\mathbf{0}) \neq \mathbf{0}\), то \(T\) не линейно!

1.2.3 Как проверить линейность
  1. Проверить аддитивность и однородность напрямую или
  2. Проверить \(T(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})\) на произвольных векторах и скалярах или
  3. Быстрый тест: \(T(\mathbf{0}) \neq \mathbf{0}\) ⇒ не линейно

Типичные нелинейности:

  • сдвиг: \(T(\vec{x}) = \vec{x} + \vec{c}\) (translation)
  • произведение координат: \(T(x, y) = xy\)
  • нелинейные функции: \(T(x)=x^2\), \(T(x)=\sin x\)
1.3 Матричное представление
1.3.1 Стандартная матрица (standard matrix)

У каждого линейного \(T : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n\) есть единственная матрица \(A\) размера \(n \times m\): \[T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}\]

Как построить: столбцы \(A\) — образы стандартного базиса \(\mathbb{R}^m\): \[A = \begin{bmatrix} T(\mathbf{e}_1) & T(\mathbf{e}_2) & \cdots & T(\mathbf{e}_m) \end{bmatrix}\]

В \(\mathbb{R}^2\): \(\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

В \(\mathbb{R}^3\): \(\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

1.3.2 Частые преобразования в \(\mathbb{R}^2\)

Поворот на угол \(\theta\) против часовой: \[R = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\]

Масштабирование (scaling): \[S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}\]

Отражение относительно оси \(x\), оси \(y\), прямой \(y=x\), сдвиг (shear) и проекция на ось \(x\) — те же матрицы, что в английской версии (см. раздел 3. Формулы).

1.3.3 Проекции

Проекция отображает векторы на подпространство (прямую или плоскость).

Проекция на плоскость \(xy\) в \(\mathbb{R}^3\): \[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad T\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix}\]

Свойства:

  • Идемпотентность (idempotent): \(T(T(\vec{v})) = T(\vec{v})\)
  • Не обратима: много прообразов
  • rank: размерность подпространства, куда проецируем
  • nullity: «потерянная» размерность
1.4 Композиция

Если \(T\) имеет матрицу \(A\), а \(S\) — матрицу \(B\), то \[(S \circ T)(\mathbf{x}) = S(T(\mathbf{x})) = B(A\mathbf{x}) = (BA)\mathbf{x}\]

Идея: матрица композиции — произведение матриц в обратном порядке применения.

Порядок важен: обычно \(BA \neq AB\).

  • \(S \circ T\): сначала \(T\), потом \(S\) ⇒ матрица \(BA\)
  • \(T \circ S\): сначала \(S\), потом \(T\) ⇒ матрица \(AB\)
1.5 Ядро и образ
1.5.1 Ядро / null space

\[\ker(T) = \{ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^m \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \}\]

  • \(\ker(T)\) — подпространство области определения
  • \(\dim\ker(T)\) — nullity
1.5.2 Образ / range

\[\text{im}(T) = \{ T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in \mathbb{R}^m \}\]

  • \(\text{im}(T)\) — подпространство в \(\mathbb{R}^n\)
  • \(\dim\text{im}(T)\) — rank
  • \(\text{im}(T)\) совпадает с column space матрицы \(A\)
1.5.3 Теорема о ранге и дефекте

\[\dim(\ker(T)) + \dim(\text{im}(T)) = \dim(\text{Domain})\] \[\text{nullity}(T) + \text{rank}(T) = m\]

Смысл: размерность области «делится» на то, что «схлопывается» в нуль, и то, что видно на выходе.

Следствия:

  • если \(\text{nullity}(T) > 0\), то \(T(\mathbf{x})=\mathbf{b}\) имеет 0 или бесконечно много решений;
  • инъекция (injective) ⇔ \(\text{nullity}(T)=0\);
  • сюръекция на \(\mathbb{R}^n\) ⇔ \(\text{rank}(T)=n\).
1.6 Обратимость

\(T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) обратимо, если существует \(T^{-1}\): \[T^{-1}(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x}, \quad T(T^{-1}(\mathbf{y})) = \mathbf{y}\]

Условия: квадратная матрица и \(\det(A) \neq 0\) (биекция).

Для \(2\times 2\): формула для \(A^{-1}\) как в разделе 3. Формулы.

1.7 Приложения
1.7.1 Компьютерная графика

Повороты, масштабы, 3D→2D projection, преобразования изображений; несколько шагов — произведение матриц в обратном порядке применения.

1.7.2 Данные и ML

PCA, линейные замены признаков, нормализация.

1.7.3 Физика и инженерия

Переходы между СК, связи напряжение–деформация, анализ цепей.

2. Определения

  • Квадрика (quadric surface): поверхность, задаваемая многочленом второй степени по \(x,y,z\).
  • Сфера (sphere): равные расстояния до центра.
  • Эллипсоид (ellipsoid): сечения — эллипсы/окружности; «растянутая» сфера.
  • Эллиптический параболоид (elliptic paraboloid): чаша; эллиптические сечения у основания.
  • Гиперболический параболоид (hyperbolic paraboloid): седло; гиперболические сечения.
  • Однополостный гиперболоид (hyperboloid of one sheet): одна связная компонента.
  • Двуполостный гиперболоид (hyperboloid of two sheets): две отдельные компоненты.
  • Конус (cone): прямые через вершину к директрисе.
  • Линейное преобразование (linear transformation): сохраняет \(+\) векторов и умножение на скаляр.
  • Стандартная матрица (standard matrix): \(A\) с \(T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\).
  • Стандартный базис (standard basis vectors): \(\mathbf{e}_i\) с единицей на \(i\)-м месте.
  • Ядро / kernel (null space): \(\ker(T)=\{\mathbf{v}:T(\mathbf{v})=\mathbf{0}\}\).
  • Образ / image (range): \(\text{im}(T)=\{T(\mathbf{v})\}\).
  • Nullity / rank: размерности \(\ker(T)\) и \(\text{im}(T)\).
  • Композиция (composition): \((S\circ T)(\mathbf{x})=S(T(\mathbf{x}))\).
  • Обратимое преобразование (invertible transformation): \(\det(A)\neq 0\).
  • Проекция (projection): идемпотентность \(T^2=T\).

3. Формулы

  • Сфера (центр в 0): \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\)
  • Сфера (произвольный центр): \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\)
  • Эллипсоид: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)
  • Эллиптический параболоид: \(z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\)
  • Гиперболический параболоид: \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\)
  • Однополостный гиперболоид: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\)
  • Двуполостный гиперболоид: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1\)
  • Круговой конус: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = \frac{z^2}{c^2}\)
  • Стандартная матрица: \(A = \begin{bmatrix} T(\mathbf{e}_1) & T(\mathbf{e}_2) & \cdots & T(\mathbf{e}_m) \end{bmatrix}\)
  • Поворот 2D (против часовой на \(\theta\)): \(R = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\)
  • Масштаб 2D: \(S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}\)
  • Отражение относительно \(x\): \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)
  • Отражение относительно \(y\): \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
  • Отражение относительно \(y=x\): \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
  • Горизонтальный shear: \(\begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
  • Проекция на \(xy\): \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
  • Проекция на ось \(x\) (2D): \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
  • Композиция: \((S \circ T)(\mathbf{x}) = (BA)\mathbf{x}\)
  • Ранг–дефект: \(\text{nullity}(T) + \text{rank}(T) = \dim(\text{Domain})\)
  • Обратная \(2\times2\): \(A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)
  • Расстояние от точки до плоскости: \(d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\) для \(ax+by+cz+d=0\)

4. Примеры

4.1. Тип квадрики (Лаба 9, Задание 1a)

Запишите стандартное уравнение и определите тип квадрики: \(x^2 - y^2 + 4y + z = 4\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

Идея: выделите полный квадрат и приведите к канону.

  1. По \(y\): \[x^2 - y^2 + 4y + z = 4\] \[x^2 - (y^2 - 4y) + z = 4\] \[x^2 - (y^2 - 4y + 4) + 4 + z = 4\] \[x^2 - (y - 2)^2 + z = 0\]
  2. Выразите \(z\): \[z = (y - 2)^2 - x^2\]
  3. Тип: разность квадратов с линейным \(z\).

Ответ: \(z = (y - 2)^2 - x^2\) — гиперболический параболоид (hyperbolic paraboloid).

4.2. Тип квадрики (Лаба 9, Задание 1b)

\(z^2 = 3x^2 + 4y^2 - 12\)

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. \[z^2 - 3x^2 - 4y^2 = -12\]
  2. Делим на \(-12\): \[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} - \frac{z^2}{12} = 1\]
  3. Два «\(+\)» и один «\(-\)», справа \(1\).

Ответ: однополостный гиперболоид (hyperboloid of one sheet).

4.3. Тип квадрики (Лаба 9, Задание 1c)

\(z = x^2 + y^2 + 1\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

\[z - 1 = x^2 + y^2\] Вершина сдвинута в \((0,0,1)\).

Ответ: эллиптический параболоид (здесь круговой параболоид, коэффициенты у \(x^2\) и \(y^2\) равны).

4.4. Тип квадрики (Лаба 9, Задание 1d)

\(x^2 + y^2 - 4z^2 + 4x - 6y - 8z = 13\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

\[(x+2)^2 + (y-3)^2 - 4(z+1)^2 = 22\] \[\frac{(x+2)^2}{22} + \frac{(y-3)^2}{22} - \frac{(z+1)^2}{11/2} = 1\]

Ответ: однополостный гиперболоид, центр \((-2,3,-1)\).

4.5. Тип квадрики (Лаба 9, Задание 1e)

\(4x^2 + 9y^2 + 36z^2 = 36\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

\[\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} + z^2 = 1\]

Ответ: эллипсоид, \(a=3\), \(b=2\), \(c=1\).

4.6. Тип квадрики (Лаба 9, Задание 1f)

\(4 - 4y^2 - z^2 = x\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

\[y^2 + \frac{z^2}{4} = 1 - \frac{x}{4}\]

Ответ: эллиптический параболоид, «чаша» в сторону отрицательного \(x\).

4.7. Значение линейного отображения (Лаба 9, Задание 1 — линейные преобразования)

Пусть \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4\) линейно и \(T\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(T\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}\). Найдите \(T\begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Разложение: \(\begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\), далее линейность.

Ответ: \(\begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 2 \\ -12 \end{pmatrix}\)

4.8. Сфера по диаметру (Лаба 9, Задание 2)

Сфера через \((2,7,-4)\) и \((4,5,-1)\); отрезок между точками — диаметр.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Центр — середина: \(\left(3,6,-\frac52\right)\), \(r=\frac{\sqrt{17}}2\).

Ответ: \((x - 3)^2 + (y - 6)^2 + (z + \frac{5}{2})^2 = \frac{17}{4}\) (или развёрнутый вид как в EN).

4.9. Матричное ли отображение? (Лаба 9, Задание 2 — линейные преобразования)

\[T\left(\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} a + b \\ b + c \\ a - c \\ c - b \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ответ: да; \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}\).

4.10. Касательная плоскость к сфере (Лаба 9, Задание 3)

Покажите, что \(4x - 3y + 6z - 35 = 0\) касается сферы \(x^2 + y^2 + z^2 - y - 2z - 14 = 0\), и найдите точку касания.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Центр \(\left(0,\frac12,1\right)\), \(r=\frac{\sqrt{61}}2\); расстояние до плоскости равно \(r\); точка касания \((2,-1,4)\).

Ответ: касается; \((2,-1,4)\).

4.11. Сдвиг — не линейность (Лаба 9, Задание 3 — линейные преобразования)

\(T(\vec{x})=\vec{x}+\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\). Линейно ли?

Нажмите, чтобы увидеть решение

\(T(\mathbf{0})\neq \mathbf{0}\).

Ответ: нет (сдвиг не линеен, если вектор сдвига \(\neq 0\)).

4.12. Уравнение конуса (Лаба 9, Задание 4)

Вершина \((1,1,1)\); поверхность проходит через \(x^2+y^2=4\), \(z=2\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ответ: \((x + z - 2)^2 + (y + z - 2)^2 = 4(z - 1)^2\)

4.13. Произведение координат (Лаба 9, Задание 4 — линейные преобразования)

\(T\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}xy\\x+y\end{bmatrix}\) — линейно?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ответ: нет (компонента \(xy\) нелинейна).

4.14. Прямой круговой конус (Лаба 9, Задание 5)

Вершина в \(0\), ось \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\), вертикальный угол \(60^\circ\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ответ: \(19x^2 + 13y^2 + 3z^2 - 8xy - 24yz - 12zx = 0\)

4.15. Композиция в \(\mathbb{R}^2\) (Лаба 9, Задание 5 — линейные преобразования)

Единичный квадрат с центром в начале координат с вершинами \(V_1 = (-0.5, -0.5)\), \(V_2 = (0.5, -0.5)\), \(V_3 = (0.5, 0.5)\), \(V_4 = (-0.5, 0.5)\). Примените композицию: поворот на \(30^\circ\) против часовой стрелки, затем масштабирование так, чтобы сторона квадрата стала \(4\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Идея: при композиции умножайте матрицы в обратном порядке применения. Чтобы сторона единичного квадрата стала \(4\), берите коэффициент масштаба \(4\).

  1. Матрица поворота (\(30^\circ\) против часовой): \[R = \begin{bmatrix} \cos 30° & -\sin 30° \\ \sin 30° & \cos 30° \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\]
  2. Матрица масштаба (коэффициент \(4\)): \[S = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}\]
  3. Композиция (сначала поворот, затем масштаб): \[M = S \cdot R = \begin{bmatrix} 2\sqrt{3} & -2 \\ 2 & 2\sqrt{3} \end{bmatrix}\]
  4. Вершины:
    • \(V'_1 = (-\sqrt{3} + 1,\,-1 - \sqrt{3})\)
    • \(V'_2 = (\sqrt{3} + 1,\,1 - \sqrt{3})\)
    • \(V'_3 = (\sqrt{3} - 1,\,1 + \sqrt{3})\)
    • \(V'_4 = (-\sqrt{3} - 1,\,-1 + \sqrt{3})\)

Ответ: \(M = \begin{bmatrix} 2\sqrt{3} & -2 \\ 2 & 2\sqrt{3} \end{bmatrix}\) и вершины выше.

4.16. Линейность: проверка (Туториал 9, Задание 1)

Линейны ли отображения:

  1. \(T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(T(x, y) = (2x + y, x - y)\)

  2. \(T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \(T(x, y) = xy\)

  3. \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\), \(T(x, y, z) = (x + z, y - z)\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

Идея: проверьте \(T(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})\).

(a) Пусть \(\mathbf{u}=(x_1,y_1)\), \(\mathbf{v}=(x_2,y_2)\). Раскройте \(T(a\mathbf{u}+b\mathbf{v})\) и сведите к \(aT(\mathbf{u})+bT(\mathbf{v})\).

Ответ (a): да, \(T\) линейно.

(b) Контрпример однородности: \(T(1,1)=1\), но \(T(2,2)=4 \neq 2T(1,1)\).

Ответ (b): нет.

(c) Линейная комбинация координат без констант и произведений; стандартная матрица \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}\).

Ответ (c): да.

4.17. Матрица отражения (Туториал 9, Задание 1)

Отражение относительно \(y=x\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ответ: \(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)

4.18. Стандартные матрицы (Туториал 9, Задание 2)

Найдите стандартную матрицу для:

  1. \(T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\), \(T(x, y) = (2x, x + y, 3y)\)

  2. \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\), \(T(x, y, z) = (x + 2y - z, 3x - y + 2z)\)

  3. поворота на \(45^\circ\) против часовой в \(\mathbb{R}^2\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

Идея: \(A = [T(\mathbf{e}_1)\mid T(\mathbf{e}_2)\mid \cdots]\).

(a) \(T(\mathbf{e}_1)=(2,1,0)\), \(T(\mathbf{e}_2)=(0,1,3)\).

Ответ (a): \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\)

(b) \(T(\mathbf{e}_1)=(1,3)\), \(T(\mathbf{e}_2)=(2,-1)\), \(T(\mathbf{e}_3)=(-1,2)\).

Ответ (b): \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}\)

(c) \(T(\mathbf{e}_1)=(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})\), \(T(\mathbf{e}_2)=(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})\).

Ответ (c): \(A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\)

4.19. Сдвиг не линеен (Туториал 9, Задание 2)

\(T(x,y)=(x+1,y-1)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ответ: не линейно, \(T(0,0)\neq(0,0)\).

4.20. Композиция (Туториал 9, Задание 3)

Пусть \(T\) — поворот на \(90^\circ\) против часовой, а \(S\) — отражение относительно оси \(x\).

  1. Стандартные матрицы \(T\) и \(S\)

  2. Матрица \(S\circ T\) (сначала \(T\), затем \(S\))

  3. Матрица \(T\circ S\) (сначала \(S\), затем \(T\))

  4. Совпадают ли композиции?

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \[A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\]

(b) \(S\circ T\): матрица \(BA\): \[BA=\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}\]

(c) \(T\circ S\): матрица \(AB\): \[AB=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\]

(d) \(BA\neq AB\).

Ответ: нет, порядок композиции важен.

4.21. Применить матрицу (Туториал 9, Задание 3)

Матрица \(\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}\), вектор \((1,-1,2)^T\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ответ: \((-1,1,3)^T\).

4.22. Ядро и образ (Туториал 9, Задание 4)

Для \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) с матрицей \[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix}\] найдите \(\ker(T)\), \(\mathrm{im}(T)\) и проверьте теорему о ранге и дефекте.

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) даёт \(x+2y-z=0\), то есть \(x=z-2y\), \[\begin{bmatrix}z-2y\\y\\z\end{bmatrix}=y\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\] Базис \(\ker(T)\): \(\left\{\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\right\}\), \(\dim\ker(T)=2\).

(b) Столбцы кратны \(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\); базис образа \(\left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\right\}\), \(\dim\mathrm{im}(T)=1\).

(c) \(2+1=3=\dim\mathbb{R}^3\).

Ответ: как выше; теорема выполняется.

4.23. Удвоение координат (Туториал 9, Задание 4)

Линейно ли \(T(x,y,z)=(2x,2y,2z)\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ответ: да; \(A=2I\).

4.24. Обратимость (Туториал 9, Задание 5)

Какие из линейных отображений обратимы? Найдите обратную, если есть:

  1. \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}\)

  2. \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}\)

  3. проекция на ось \(x\) в \(\mathbb{R}^2\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

(a) \(\det(A)=5\neq 0\); обратима: \[A^{-1}=\frac15\begin{bmatrix}3&-1\\-1&2\end{bmatrix}\]

(b) Матрица \(2\times 3\) не квадратная ⇒ не обратима как изоморфизм \(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\).

(c) \(A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\), \(\det(A)=0\); не инъективна ⇒ не обратима.

Ответ: (a) обратима с \(A^{-1}\) выше; (b) и (c) не обратимы.

4.25. Графика: треугольник (Туториал 9, Задание 6)

Поворот \(90^\circ\), затем масштаб \(2\) по \(x\) и \(3\) по \(y\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ответ: итоговые вершины \((-2,3)\), \((-2,9)\), \((-6,6)\).